Book · Quantum Mechanics

身につくシュレーディンガー方程式

量子力学を、数式を丁寧に追いながら学ぶための著書です。書籍情報、章構成、初版第1刷の正誤情報をまとめています。

量子力学の入門書には「数式を使わずに雰囲気を伝える」ものが多くありますが、本書はその逆を選びました——式を飛ばさず、一行ずつ手を動かして追うことで、波動関数やエネルギー準位が「計算できる対象」になる体験を目指しています。身近な波から出発するので、微積分の基礎があれば読み進められます。このページには書籍情報とあわせて正誤情報を常設しています。数式の本にとって誤植の訂正は読者への責任だと考えているためで、最新の訂正は出版社のサポートページと併せてご確認ください。

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井戸型ポテンシャルの中の波動関数とシュレーディンガー方程式を描いた書籍紹介用の自作図 — 『身につくシュレーディンガー方程式』書籍紹介用の自作図。書影ではありません。図：© Atsushi Muta / Muta Laboratory

Book information

書籍情報

著者: 牟田淳
出版社・シリーズ: 技術評論社「ファーストブックSTEP」
発売: 紙書籍 2014年12月27日／電子版 2015年1月13日
判型・頁数: A5判・296ページ
ISBN: 978-4-7741-7060-2（紙）
978-4-7741-7160-9（電子）

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What the book covers

数式を追って量子力学を理解する

光や電子の波と粒子の性質から始め、身近な波の方程式を足場に、1次元・3次元のシュレーディンガー方程式へ進みます。初学者が式の意味と解き方を段階的に確認できる構成です。

全11章・296ページを、大きく4つのまとまりで進みます。どのまとまりも「式を出す→解く→意味を読む」の順で、前の結果が次の道具になります。各章末には確認問題があり、巻末に解答つき——途中の計算を省かないぶん、読み終えたときには、自力で解ける問題の型がいくつも手元に残るはずです。

読み方のおすすめは、紙と鉛筆を横に置いて、式を一行ずつ自分の手で写しながら進むことです。急がば回れで、第1部の「波」を丁寧に通過しておくと、後半に現れるシュレーディンガー方程式が「初めて見る式」ではなく「見たことのある形の拡張」として迎えられます。数式の本は、読む速さよりも、手が止まらないことが大切です。

波と粒子（第1〜3章）

「光や電子は粒子か波か？」から出発し、前期量子論と原子のしくみ、物質波までを整理します。この部分の多くは高校物理の内容と重なるので、復習を兼ねて量子論の言葉に慣れていけます。二重スリット実験と確率解釈、波の規格化まで進むと、「波」が何を表すのかが定まります。

波の方程式からシュレーディンガー方程式へ（第4〜5章）

楽器の音色と倍音という身近な波から入り、波の方程式・定在波・変数分離法・境界条件という道具を先にそろえます。そのうえでシュレーディンガー方程式を「類推」で導き、井戸型・調和振動子・クーロン力など、ミクロな世界に現れる典型的なエネルギーの形を眺めます。

1次元の問題を解き切る（第6〜8章）

井戸型ポテンシャルに閉じ込めた電子で、方程式を実際に解きます。演算子と期待値、固有関数、交換関係、規格直交性——量子力学の商売道具はここで手に入ります。有限の深さの井戸、演算子法による調和振動子、そして「粒子は壁をすり抜けられる？」というトンネル効果まで。

3次元の世界と水素原子（第9〜11章）

直交座標から極座標へ移り、s波、そして角運動量のある場合へ。自由粒子・井戸型の3次元解を経て、電子スピンと多体問題に触れ、最後は水素原子に到達します。第1章で「説明できない」と述べた原子の姿が、方程式の解として立ち上がる——本の締めくくりです。

Errata

初版第1刷の正誤情報

最新版は出版社のサポートページを確認してください。

以下は2021年2月22日に「第2刷修正済み」としてまとめた初版第1刷の訂正です。技術評論社のサポートページには、その後の追加を含む第1刷～第3刷の正誤情報が掲載されています。

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138ページ　式（6.75）

余弦項の符号を訂正します。

誤

＋ cos[(n＋m)πx/a]

正

− cos[(n＋m)πx/a]

169ページ　図7.12

調和振動子のポテンシャルの式から先頭のマイナスを除きます。

誤

V(x) = −½mω²x²

正

V(x) = ½mω²x²

208～211ページ　具体的なラプラシアンの計算

初版第1刷では、異なる変数によるφの2階偏微分項が式（9.20）～（9.23）で抜け落ちていました。追記した項は最終的に相殺されますが、途中の計算として必要です。

式（9.20）、（9.21）：混合2階偏微分の項を途中式と末尾へ追加
式（9.22）：rとθの混合2階偏微分項を追加
式（9.23）：相殺して0になる項を明記

出版社の訂正版PDF（208～211ページ）

9.20（6行目から）のTeX転記

当時の赤字指定をもとに、改行・空白・\nonumberなどのレイアウト指定を整理し、可読性のため一部のTeX組版表記を整えた転記です。数式の正本は出版社の訂正版PDFで確認してください。

\begin{eqnarray}
& &= [ \sin \theta \cos \phi \frac{\partial^2 \varphi}{\partial r^2}
+ \cos \theta \cos \phi\left(-\frac{1}{r^2}\frac{\partial \varphi}{\partial \theta}
\textcolor{red}{+\frac{1}{r}\frac{\partial^2 \varphi}{\partial \theta \partial r}}\right) \\
& &-\frac{\sin \phi}{\sin \theta}\left(-\frac{1}{r^2}\frac{\partial \varphi}{\partial \phi}
\textcolor{red}{+\frac{1}{r}\frac{\partial^2 \varphi}{\partial\phi \partial r}}\right)]\sin \theta \cos \phi \\
& &+[\cos\phi(\cos \theta \frac{\partial \varphi}{\partial r}
\textcolor{red}{+\sin \theta \frac{\partial^2 \varphi}{\partial r \partial \theta}})
+\frac{1}{r}\cos \phi(-\sin \theta \frac{\partial \varphi}{\partial \theta}
\textcolor{red}{+\cos \theta \frac{\partial^2 \varphi}{\partial^2 \theta}}) \\
& &-\frac{1}{r}\sin \phi\left(-\frac{\cos \theta}{\sin^2 \theta}\frac{\partial \varphi}{\partial \phi}
\textcolor{red}{+\frac{1}{\sin \theta}\frac{\partial^2 \varphi}{\partial \phi \partial \theta}}\right)]
\frac{\cos \theta \cos \phi}{r} \\
& &+[-\sin \theta(-\sin \phi \frac{\partial \varphi}{\partial r}
\textcolor{red}{+\cos \phi \frac{\partial^2 \varphi}{\partial r \partial \phi}})
-\frac{1}{r}\cos \theta(-\sin \phi \frac{\partial \varphi}{\partial \theta}
\textcolor{red}{+\cos \phi\frac{\partial^2 \varphi}{\partial \theta \partial \phi}}) \\
& &+\frac{1}{r}\frac{1}{\sin \theta}(\cos \phi \frac{\partial \varphi}{\partial \phi}
+\sin \phi \frac{\partial^2 \varphi}{\partial \phi^2})]\frac{\sin \phi}{r\sin \theta}
\end{eqnarray}

9.20（最後に追加）のTeX転記

\begin{eqnarray}
& &+\frac{2}{r}[\cos \theta \sin \theta \cos^2 \phi \frac{\partial^2 \varphi}{\partial r \partial \theta}
-\sin \phi \cos \phi \frac{\partial^2 \varphi}{\partial r \partial\phi}
-\frac{1}{r}\frac{\cos \theta}{\sin \theta}\sin \phi \cos \phi
\frac{\partial^2 \varphi}{\partial \theta \partial \phi}]
\end{eqnarray}

9.21（6行目から）のTeX転記

\begin{eqnarray}
& &= [ \sin \theta \sin \phi \frac{\partial^2 \varphi}{\partial r^2}
+ \cos \theta \sin \phi\left(-\frac{1}{r^2}\frac{\partial \varphi}{\partial \theta}
\textcolor{red}{+\frac{1}{r}\frac{\partial^2 \varphi}{\partial \theta \partial r}}\right) \\
& &+\frac{\cos \phi}{\sin \theta}\left(-\frac{1}{r^2}\frac{\partial \varphi}{\partial \phi}
\textcolor{red}{+\frac{1}{r}\frac{\partial^2 \varphi}{\partial\phi \partial r}}\right)]\sin \theta \sin \phi \\
& &+[\sin\phi(\cos \theta \frac{\partial \varphi}{\partial r}
\textcolor{red}{+\sin \theta \frac{\partial^2 \varphi}{\partial r \partial \theta}})
+\frac{1}{r}\sin \phi(-\sin \theta \frac{\partial \varphi}{\partial \theta}
\textcolor{red}{+\cos \theta \frac{\partial^2 \varphi}{\partial^2 \theta}}) \\
& &+\frac{1}{r}\cos \phi\left(-\frac{\cos \theta}{\sin^2 \theta}\frac{\partial \varphi}{\partial \phi}
\textcolor{red}{+\frac{1}{\sin \theta}\frac{\partial^2 \varphi}{\partial \phi \partial \theta}}\right)]
\frac{\cos \theta \sin \phi}{r} \\
& &+[\sin \theta(\cos \phi \frac{\partial \varphi}{\partial r}
\textcolor{red}{+\sin \phi \frac{\partial^2 \varphi}{\partial r \partial \phi}})
+\frac{1}{r}\cos \theta(\cos \phi \frac{\partial \varphi}{\partial \theta}
\textcolor{red}{+\sin \phi\frac{\partial^2 \varphi}{\partial \theta \partial \phi}}) \\
& &+\frac{1}{r}\frac{1}{\sin \theta}(-\sin \phi \frac{\partial \varphi}{\partial \phi}
+\cos \phi \frac{\partial^2 \varphi}{\partial \phi^2})]\frac{\cos \phi}{r\sin \theta}
\end{eqnarray}

9.21（最後に追加）のTeX転記

\begin{eqnarray}
& &+\frac{2}{r}[\cos \theta \sin \theta \sin^2 \phi \frac{\partial^2 \varphi}{\partial r \partial \theta}
+\sin \phi \cos \phi \frac{\partial^2 \varphi}{\partial r \partial\phi}
+\frac{1}{r}\frac{\cos \theta}{\sin \theta}\sin \phi \cos \phi
\frac{\partial^2 \varphi}{\partial \theta \partial \phi}]
\end{eqnarray}

9.22（4行目から）のTeX転記

\begin{eqnarray}
& & [\cos \theta \frac{\partial^2 \varphi}{\partial r^2}-\sin \theta(-\frac{1}{r^2}\frac{\partial\varphi}{\partial \theta}
\textcolor{red}{+\frac{1}{r}\frac{\partial^2 \varphi}{\partial \theta \partial r}})]\cos \theta \\
& &+[(\sin \theta \frac{\partial \varphi}{\partial r}
\textcolor{red}{-\cos \theta \frac{\partial^2 \varphi}{\partial r \partial \theta}})
+\frac{1}{r}(\cos \theta \frac{\partial \varphi}{\partial \theta}
+\sin \theta \frac{\partial^2 \varphi}{\partial \theta^2})]\frac{\sin \theta}{r} \\
&=& \cos^2 \theta \frac{\partial^2 \varphi}{\partial r^2}
+\sin^2 \theta \frac{1}{r}\frac{\partial \varphi}{\partial r}
+\frac{1}{r^2}[2\sin \theta \cos \theta \frac{\partial \varphi}{\partial \theta}
+\sin^2 \theta \frac{\partial^2 \varphi}{\partial\theta^2}] \\
& &\textcolor{red}{-\frac{2}{r}\cos \theta \sin \theta \frac{\partial^2 \varphi}{\partial r \partial \theta}}
\end{eqnarray}

9.23（下から2行目）のTeX転記

\begin{eqnarray}
& &+\frac{2}{r}[(\cos \theta \sin \theta \cos^2 \phi
+\cos \theta \sin \theta \sin^2 \phi-\cos \theta \sin \theta)
\frac{\partial^2 \varphi}{\partial r \partial \theta} \\
& &+(-\sin \phi \cos \phi+\sin \phi \cos \phi)
\frac{\partial^2 \varphi}{\partial r \partial \phi} \\
& &+(-\frac{1}{r}\frac{\cos \theta}{\sin \theta}\sin \phi \cos \phi
+\frac{1}{r}\frac{\cos \theta}{\sin \theta}\sin \phi \cos \phi)
\frac{\partial^2 \varphi}{\partial \theta \partial \phi}]
\end{eqnarray}